امواج الیوت و هندسه فراکتال

این مقاله در ابتدا در شماره فوریه 1999 علمی آمریکایی منتشر شد. برای کپی از آن ، لطفاً با شماره 212. 754. 0550 با علمی آمریکایی تماس بگیرید. ما اشتراک این مجله مهم را به شدت توصیه می کنیم.

یک پیاده روی چند منظوره در وال استریت

"هندسه ای که شکل خطوط ساحلی را توصیف می کند و الگوهای کهکشان ها همچنین چگونگی افزایش و کاهش قیمت سهام را روشن می کند."

توسط Benoit B. Mandelbrot

سرمایه گذاران انفرادی و معامله گران سهام و ارزهای حرفه ای بهتر از همیشه می دانند که قیمت های نقل شده در هر بازار مالی غالباً با سرعت متوقف کننده قلب تغییر می کنند. هنگامی که به نظر می رسد سرعت بازار سرعت می یابد و نوسانات افزایش می یابد ، ثروت ها در انفجارهای ناگهانی فعالیت می شوند و از بین می روند. به عنوان مثال ، در سپتامبر گذشته ، سهام Alcatel ، یک تولید کننده تجهیزات ارتباطات از راه دور فرانسوی ، یک روز حدود 40 درصد کاهش یافت و طی چند روز آینده 6 درصد دیگر سقوط کرد. در یک معکوس ، سهام در روز چهارم 10 درصد افزایش یافت.

مدلهای مالی کلاسیک مورد استفاده در بیشتر این قرن پیش بینی می کنند که چنین وقایع رسوبی هرگز نباید اتفاق بیفتد. سنگ بنای مالی نظریه نمونه کارها مدرن است که سعی می کند بازده را برای یک سطح خاص از خطر به حداکثر برساند. ریاضیات اساسی تئوری نمونه کارها با بی توجهی خوش خیم ، موقعیت های شدید را به خود اختصاص می دهد: این تغییر در بازار بزرگ را بسیار بعید به نظر می رسد یا در نظر گرفتن آن غیرممکن است. درست است که نظریه نمونه کارها ممکن است 95 درصد از زمان موجود در بازار را به خود اختصاص دهد. اما تصویری که ارائه می دهد واقعیت را منعکس نمی کند ، اگر کسی موافقت کند که رویدادهای اصلی بخشی از 5 درصد باقی مانده است. یک قیاس غیرقابل اجتناب ، یک ملوان در دریا است. اگر هوا 95 درصد از زمان متوسط است ، آیا مارینر می تواند احتمال داشتن یک طوفان را نادیده بگیرد؟

فرمول های کاهش دهنده ریسک در پشت نظریه نمونه کارها به تعدادی از محل های خواستار و در نهایت بی اساس متکی هستند. اول ، آنها پیشنهاد می کنند که تغییرات قیمت از نظر آماری مستقل از یکدیگر است: به عنوان مثال ، قیمت امروز هیچ تاثیری در تغییرات بین قیمت فعلی و فردا ندارد. در نتیجه ، پیش بینی های جنبش های آینده بازار غیرممکن می شود. پیش فرض دوم این است که تمام تغییرات قیمت در الگویی توزیع می شود که مطابق با منحنی زنگ استاندارد است. عرض شکل زنگ (همانطور که توسط سیگما آن اندازه گیری می شود ، یا انحراف استاندارد) نشان می دهد که تغییر قیمت تا چه اندازه از میانگین واگرای دارد. وقایع در افراط و تفریط بسیار نادر تلقی می شود. در حقیقت ، حصبها از وجود تعریف شده اند.

آیا داده های مالی به طور مرتب با چنین فرضیاتی مطابقت دارند؟البته ، آنها هرگز این کار را نمی کنند. نمودارهای سهام یا تغییر ارز با گذشت زمان ، زمینه ای ثابت از حرکات کوچک بالا و پایین قیمت را نشان می دهد اما به همان اندازه یکنواخت نیست که انتظار داشته باشد اگر تغییر قیمت متناسب با منحنی زنگ باشد. این الگوهای ، با این حال ، تنها یک جنبه از نمودار را تشکیل می دهد. تعداد قابل توجهی از تغییرات بزرگ ناگهانی - سنبله در نمودار که به بالا و پایین شلیک می کند ، مانند سهام Alcatel - از پس زمینه آشفتگی های معتدل تر است. علاوه بر این ، بزرگی حرکات قیمت (چه بزرگ و چه کوچک) ممکن است برای یک سال تقریباً ثابت باقی بماند ، و سپس ناگهان ممکن است تغییرپذیری برای یک دوره طولانی افزایش یابد. با رشد تلاطم بازار ، پرش های قیمت بزرگ رایج تر می شوند. خوشه های آنها در نمودار ظاهر می شوند.

براساس نظریه نمونه کارها ، احتمال این نوسانات بزرگ چند میلیون از یک میلیونم از یک میلیونم از یک میلیونم خواهد بود.. اعطا می شود ، منحنی زنگ اغلب به عنوان عادی به عنوان توزیع عادی توصیف می شود. اما آیا باید بازارهای مالی غیر طبیعی توصیف شود؟البته نه - آنها همان چیزی هستند که هستند ، و این تئوری نمونه کارها است که ناقص است.

نظریه مدرن نمونه کارها برای کسانی که بیش از حد به آن اعتقاد دارند ، خطر ایجاد می کند و یک چالش قدرتمند برای نظریه پرداز است. اگرچه گاهی اوقات با تأیید گسلها در بدنه فعلی تفکر ، طرفداران آن نشان می دهند که هیچ مکان دیگری از طریق مدل سازی ریاضی قابل کنترل نیست. این بحث منجر به این سؤال می شود که آیا توضیحات کمی دقیق از حداقل برخی از ویژگی های تحولات عمده مالی می تواند ایجاد شود. پاسخ نزولی این است که نوسانات بزرگ بازار ناهنجاری ها ، "اعمال خدا" فردی است که هیچ نظم قابل تصور را نشان نمی دهد. ویرایشگرها مکانهای مشکوک نظریه نمونه کارها مدرن را از طریق اصلاحات کوچک که فاقد هرگونه اصل هدایت هستند ، تصحیح می کنند و مسائل را به اندازه کافی بهبود نمی بخشند. کار خودم - که طی سالهای زیادی انجام شده است - موقعیت بسیار متفاوتی و قاطعانه ای را می گیرد.

من ادعا می کنم که تغییرات در قیمت های مالی را می توان با الگویی حاصل از کار من در هندسه فراکتال به حساب آورد. Fractals یا توضیحات بعدی آنها ، با Multifractals تماس بگیرید - برای پیش بینی آینده با اطمینان پیش بینی نکنید. اما آنها تصویری واقع بینانه تر از خطرات بازار ایجاد می کنند. با توجه به مشکلات اخیر در مقابله با صندوق های سرمایه گذاری بزرگ سرمایه گذاری ، این احمقانه است که مدل هایی را ارائه ندهید که تخمین های دقیق تری از ریسک ارائه دهند.

multifractals و بازار

یک مبنای ریاضی گسترده ای در حال حاضر برای فراکتال ها و چند منظوره وجود دارد. الگوهای فراکتال نه تنها در تغییر قیمت اوراق بهادار بلکه در توزیع کهکشان ها در سراسر کیهان ، به شکل خطوط ساحلی و در طرح های تزئینی ایجاد شده توسط برنامه های رایانه ای بی شماری ظاهر می شوند.

فراکتال یک شکل هندسی است که می تواند به قسمت هایی از هم جدا شود که هر یک از آنها یک نسخه در مقیاس کاهش یافته از کل است. در امور مالی ، این مفهوم یک انتزاع بی ریشه نیست بلکه یک اصلاح نظری از یک قسمت پایین زمین از فرهنگ عامیانه بازار است-یعنی اینکه حرکات یک سهام یا ارز همه در صورت بزرگ شدن یا کاهش نمودار بازار یکسان به نظر می رسند. همان زمان و مقیاس قیمت. سپس یک ناظر نمی تواند بگوید کدام یک از داده ها مربوط به قیمت های مربوط به هفته به هفته ، روز به روز یا ساعت به ساعت است. این کیفیت نمودارها را به عنوان منحنی های فراکتال تعریف می کند و بسیاری از ابزارهای قدرتمند تجزیه و تحلیل ریاضی و رایانه را در دسترس قرار می دهد.

یک اصطلاح فنی خاص تر برای شباهت بین قطعات و کل خود مؤثر است. این خاصیت مربوط به مفهوم شناخته شده بهتر فراکتال ها به نام خود شناع است ، که در آن هر ویژگی یک تصویر با همان نسبت کاهش می یابد یا دمیده می شود-فرایندی که برای هر کسی که تاکنون دستور بزرگ شدن عکاسی را داده است ، آشنا است. با این حال ، نمودارهای بازار مالی به دور از خودکشی نیست.

تصویر 1-ژنراتور سه تکه-قربان (بالا) می تواند به طور مکرر در هر قطعه از نمودارهای بعدی (سه نمودار پایین) درون یابی شود. الگویی که به طور جدی شبیه به نوسانات قیمت بازار است.(ژنراتور درون یابی برای هر قطعه نزولی معکوس می شود.)

در جزئیات گرافیکی که در آن ویژگی ها بالاتر از آن است-همانطور که کنه های قیمت بالا و پایین یک سهام-تبدیل از کل به یک قسمت باید محور افقی را بیشتر از عمودی کاهش دهدبشربرای نمودار قیمت ، این تحول باید در مقیاس زمان (محور افقی) بیشتر از مقیاس قیمت (محور عمودی) کوچک شود. گفته می شود که رابطه هندسی کل با قسمتهای آن یکی از خودکشی است.

وجود برخی از خواص تغییر نشده توسط اکثر آمارشناسان وزن زیادی داده نمی شود. اما آنها محبوب فیزیکدانان و ریاضیدانان مانند خودم هستند که آنها را متغیر می نامند و با مدلهایی که یک خاصیت تغییر ناپذیر را ارائه می دهند ، خوشحال هستند. ایده خوبی از منظور من با ترسیم یک نمودار ساده که تغییرات قیمت را از زمان 0 تا زمان بعدی 1 در مراحل پی در پی درج می کند ، ارائه می شود. فواصل خودشان به طور خودسرانه انتخاب می شوند. آنها ممکن است نمایانگر یک ثانیه ، یک ساعت ، یک روز یا یک سال باشند.

این روند با یک قیمت آغاز می شود ، که توسط یک خط روند مستقیم نشان داده می شود (تصویر 1). در مرحله بعد ، از یک خط شکسته به نام ژنراتور برای ایجاد الگویی استفاده می شود که مربوط به نوسانات بالا و پایین از قیمتی است که در بازارهای مالی نقل شده است. ژنراتور از سه قطعه تشکیل شده است که در امتداد خط روند مستقیم وارد شده (درون یابی) قرار می گیرند.(یک ژنراتور با کمتر از سه قطعه قیمتی را که می تواند به سمت بالا و پایین حرکت کند شبیه سازی نمی کند.) پس از ترسیم ژنراتور اولیه ، سه قطعه آن توسط سه مورد کوتاه تر درون یابی می شود. تکرار این مراحل شکل ژنراتور یا منحنی قیمت را بازتولید می کند ، اما در مقیاس های فشرده شده است. هر دو محور افقی (بازه زمانی) و محور عمودی (مقیاس قیمت) فشرده می شوند تا مرزهای افقی و عمودی هر قطعه از ژنراتور متناسب باشند.

فقط مراحل اول در تصویر نشان داده شده است ، اگرچه همین روند ادامه دارد. از نظر تئوری ، این پایان ندارد ، اما در عمل منطقی نیست که فواصل زمانی را کوتاه تر از موارد بین معاملات تجاری ، که ممکن است در کمتر از یک دقیقه اتفاق بیفتد ، کاهش دهید. واضح است که ، هر قطعه تقریباً مانند کل به پایان می رسد. یعنی عدم تغییر مقیاس فقط به این دلیل که در آن ساخته شده است وجود دارد. تازگی (و جای تعجب) این است که این منحنی های فراکتالی خودفین دارای ساختار ثروت هستند-پایه و اساس هندسه فراکتال و تئوری هرج و مرج.

چند ژنراتور منتخب به اصطلاح منحنی های یکپارچه ای دارند که تصویر نسبتاً آرام از بازار را شامل می شوند که توسط تئوری مدرن نمونه کارها همراه است. اما آرامش فقط در شرایط فوق العاده ویژه ای غالب است که فقط توسط این ژنراتورهای خاص راضی هستند. فرضیات پشت این مدل بیش از حد یکی از اشتباهات اصلی نظریه مدرن نمونه کارها است. این تقریباً شبیه نظریه امواج دریایی است که تورم آنها را از شش پا ممنوع می کند.

زیبایی هندسه فراکتال این است که یک مدل کلی را به اندازه کافی برای بازتولید الگوهای توصیف کننده بازارهای تئوری نمونه کارها و همچنین شرایط تجاری پرخاشگرانه ماه های اخیر امکان پذیر می کند. روش فقط توصیف شده برای ایجاد یک مدل قیمت فراکتال می تواند تغییر کند تا نشان دهد که چگونه فعالیت بازارها سرعت می یابد و کند می شود - جوهر نوسانات. این تنوع به همین دلیل است که پیشوند "multi" به کلمه "fractal" اضافه شد.

برای ایجاد یک چند عاملی از یک unifractal ، مرحله اصلی افزایش یا کوتاه کردن محور زمان افقی است تا قطعات

ژنراتور یا کشیده شده یا فشرده شده است. در عین حال ، محور قیمت عمودی ممکن است دست نخورده باقی بماند. در تصویر 2 ، اولین قطعه از ژنراتور unifractal به تدریج کوتاه می شود ، که همچنین جایی را برای طولانی تر کردن قطعه دوم فراهم می کند. پس از انجام این تنظیمات ، ژنراتورها چند مرحله ای می شوند (M1 تا M4). فعالیت بازار در فاصله زمانی که توسط قطعه اول ژنراتور نشان داده می شود سرعت می یابد و در بازه ای که مربوط به قطعه دوم است کند می شود (تصویر 3).

چنین تغییراتی در ژنراتور می تواند با استفاده از فرآیند درون یابی که در ابتدا توضیح داده شد ، یک شبیه سازی کامل از نوسانات قیمت را در طی یک دوره معین ایجاد کند. هر بار که اولین قطعه از ژنراتور کوتاهتر می شود - و روند درون یابی پی در پی انجام می شود - نمودار تولید می کند که به طور فزاینده ای شبیه به ویژگی های بازارهای فرار است (تصویر 4).

نمودار unifractal (u) نشان داده شده در اینجا (قبل از هرگونه کوتاه شدن) با بازارهای منتخب فرض شده در مدل نظریه پردازان نمونه کارها مطابقت دارد. با پایین آمدن پشته (M1 تا M4) ، هر نمودار از آن مدل فاصله می گیرد و پرش های تیز و تند و تیز و حرکات بزرگ و مداوم را نشان می دهد که شبیه تجارت اخیر است. برای اینکه این مدل های بازارهای فرار به واقع گرایی لازم دست یابند ، سه قطعه از هر ژنراتور خرد شده بودند - فرایندی که در تصاویر نشان داده نشده است. به شرح زیر است: یک قالب را تصور کنید که در آن هر طرف تصویر یکی از شش جابجایی قطعات ژنراتور را تحمل می کند. قبل از هر درون یابی ، قالب پرتاب می شود ، و سپس جابجایی که به وجود می آید انتخاب می شود.

یک خزانه دار شرکت ، معامله گر ارز یا استراتژیست بازار دیگر از این همه نتیجه می گیرد؟اختلاف بین تصاویر نقاشی شده توسط تئوری نمونه کارها مدرن و حرکت واقعی قیمت ها آشکار است. قیمت ها به طور مداوم متفاوت نیستند و در همه بازه های زمانی به شدت نوسان می کنند. نوسانات - به دور از یک موجود استاتیک که باید نادیده گرفته شود یا به راحتی جبران شود - در قلب آنچه در بازارهای مالی اتفاق می افتد است. در گذشته ، مدیران پول به دلیل عدم وجود گزینه های قوی ، تداوم و حرکات قیمت محدود نظریه نمونه کارها مدرن را پذیرفتند. اما یک مدیر پول دیگر نیازی به پذیرش مدل های مالی فعلی با ارزش اسمی ندارد.

در عوض می توان چند فرفری را برای "استرس-تست" یک نمونه کارها به کار گرفت. در این تکنیک قوانین اساسی در زمینه های چند منظوره سعی در ایجاد همان الگوهای تغییرپذیری مانند قوانین ناشناخته حاکم بر بازارهای واقعی دارند. چند منظوره ارتباط بین شکل ژنراتور و الگوهای نوسانات بالا و پایین قیمت ها را که در نمودارهای داده های بازار واقعی یافت می شود ، به طور دقیق توصیف می کنند.

در یک سطح عملی ، این یافته نشان می دهد که می توان یک ژنراتور فراکتال را بر اساس داده های بازار تاریخی توسعه داد. مدل واقعی مورد استفاده به سادگی آنچه را که بازار دیروز یا هفته گذشته انجام داده است ، بازرسی نمی کند. این در واقع تصویری واقع بینانه تر از نوسانات بازار است که در زمان معاملات چند منظوره به نام حرکت قهوه ای کسری نامیده می شود. نمودارهای ایجاد شده از ژنراتورهای تولید شده توسط این مدل می توانند سناریوهای جایگزین را بر اساس فعالیت قبلی بازار شبیه سازی کنند.

این تکنیک ها بر اساس سوابق گذشته به پیش بینی افت قیمت یا افزایش در یک روز خاص نزدیک نمی شوند. اما آنها تخمین هایی از احتمال آنچه بازار ممکن است انجام دهد ارائه می دهد و به فرد اجازه می دهد تا برای تغییرات اجتناب ناپذیر دریا آماده شود. تکنیک های جدید مدل سازی به گونه ای طراحی شده اند که یک نور نظم را در ضخامت به ظاهر غیرقابل نفوذ در بازارهای مالی قرار دهند. آنها همچنین هشدار مارینر را تشخیص می دهند که ، همانطور که وقایع اخیر نشان می دهد ، سزاوار توجه است: حتی در آرام ترین دریا ، یک گیل ممکن است دقیقاً بالای افق باشد.

چگونه مولتیفکتال ها در برابر سوابق واقعی تغییرات در قیمت های مالی ایستادگی می کنند؟برای ارزیابی عملکرد آنها ، بگذارید چندین سری از تغییرات قیمت را با چند مدل مصنوعی مقایسه کنیم. هدف از مدل سازی الگوهای بازارهای واقعی مطمئناً با نمودار اول برآورده نمی شود ، که بسیار یکنواخت است و به پس زمینه استاتیک تغییرات قیمت کوچک ، مشابه با صدای استاتیک از رادیو کاهش می یابد. نوسانات بدون پرش ناگهانی یکنواخت می ماند. در یک سابقه تاریخی از این نوع ، فصل های روزانه از یکدیگر متفاوت است ، اما تمام فصل های ماهانه بسیار یکسان می خوانند. نمودار دوم نسبتاً ساده غیر واقعی است ، زیرا بسیاری از سنبله ها را نشان می دهد. با این حال ، اینها در برابر پس زمینه تغییر ناپذیر که در آن تنوع کلی قیمت ها ثابت است ، جدا شده اند. نمودار سوم دارای نقاط قوت و شکست است ، زیرا فاقد هرگونه پرش پر زرق و برق است.

چشم به ما می گوید که این سه نمودار به طور غیر واقعی ساده هستند. اکنون منابع را آشکار می کنیم. نمودار 1 نوسانات قیمت را در مدلی که در سال 1900 توسط ریاضیدان فرانسوی لوئی باچلیه معرفی شد، نشان می دهد. تغییرات قیمت‌ها به دنبال یک «راهپیمایی تصادفی» است که با منحنی زنگی مطابقت دارد و مدلی را نشان می‌دهد که زیربنای نظریه پورتفولیو مدرن است. نمودارهای 2 و 3 بهبودهای جزئی در کار باکلیه هستند: مدلی که در سال 1963 (بر اساس فرآیندهای تصادفی پایدار لوی) پیشنهاد کردم و مدلی که در سال 1965 منتشر کردم (بر اساس حرکت براونی کسری). با این حال، این تجدید نظرها، جز در شرایط خاص بازار، ناکافی هستند.

در پنج نمودار مهمتر پایین نمودار، حداقل یکی یک رکورد واقعی است و حداقل دیگری یک نمونه کامپیوتری از آخرین مدل چندفراکتالی من است. خواننده آزاد است که آن پنج خط را در دسته بندی های مناسب مرتب کند. امیدوارم جعلیات به طرز شگفت انگیزی موثر تلقی شوند. در واقع، تنها دو نمودار واقعی از فعالیت بازار هستند. نمودار 5 به تغییرات قیمت سهام IBM اشاره دارد و نمودار 6 نوسانات قیمت را برای مارک دلار-دویچ، نرخ مبادله نشان می دهد. نمودارهای باقیمانده (4، 7 و 8) شباهت زیادی به دو نمونه قبلی خود در دنیای واقعی دارند. اما آنها کاملاً مصنوعی هستند، که از طریق یک شکل تصفیه شده تر از مدل چندفراکتالی من تولید شده اند.-B. B. M.

Benoit B. Mandelbrot در زمینه های متعددی از علم و هنر مشارکت داشته است. او ریاضیدانی بود که از سال 1987 به عنوان پروفسور آبراهام رابینسون در علوم ریاضی در دانشگاه ییل و همکار بازنشسته IBM (فیزیک) در مرکز تحقیقات توماس جی واتسون در یورک‌تاون هایتس، نیویورک، که از سال 1958 تا 1993 در آنجا کار کرد، خدمت کرده است. عضو آکادمی علوم و هنر آمریکا و دستیار خارجی آکادمی ملی علوم ایالات متحده و آکادمی نروژ است. جوایز او شامل جایزه ولف در سال 1993 برای فیزیک، مدال های بارنارد، فرانکلین و اشتاینمتز، و جوایز علم برای هنر، هاروی، هومبولت و هوندا است.

هندسه فراکتال طبیعت. بنوا بی. ماندلبرو. W. H. فریمن و شرکت، 1982.

فراکتال ها و مقیاس بندی در امور مالی: ناپیوستگی، تمرکز، ریسک. بنوا بی. ماندلبرو. Springer-Verlag، 1997.

"مدل چندفراکتالی بازده دارایی."مقالات بحثی بنیاد اقتصاد کاولز، شماره 114-1166. لوران کالورت، آدلای فیشر و بنوا بی. ماندلبرو. بنیاد کاولز، دانشگاه ییل، 1997.

Multifractals و 1/F Noise: Wild Self-Affinity در فیزیک. بنوا بی. ماندلبرو، اسپرینگر-ورلاگ، 1999.

بسیاری از فایل های ریاضی در این سایت به صورت pdf هستند.اگر مرورگر شما فایل های pdf را نمایش نمی دهد، برای راهنمایی اینجا را کلیک کنید. این صفحه آخرین بار در چهارشنبه 5 اردیبهشت 1383 ساعت 07:52:55 ب. ظ به روز رسانی شده است. . کن مونک